Pages

Senin, 07 November 2011

Distribusi Statistik Maxwell-Bolzman, Fermi- Dirac dan Bose-Einstein

STATISTIK MAXWELL-BOLTZMAN

Daerah antara klasik suatu gas didefinisikan sebagai kondisi temperatur dan kerapatan sedemikian rupa sehingga jumlah rataan atom atau molekul yang menempati satu keadaan jauh lebih kecil dari satu. Sedangkan daerah kuantum , jumlah rataan satu atau lebih besar.

Dalam daerah klasik fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi sama dengan fungsi distribusi Bose Einstein.

Yakni >>1. Fungsi distribusi ini dikenal sebagai fungsi distribusi klasik atau fungsi distribusi Maxwell- Bolztmann. Untuk potensial kimia nol, μ = 0 pers. 6.67 adalah faktor Boltzmann.

Contoh 6.15

Tentukan fungsi distribusi klasik Maxwell-Boltzmann dengan menggunakan pengertian partikel terbedakan.

Penyelesaian :

Perhatikan kembali contoh 1.9. misalkan satu sistem terdiri dari N partikel terbedakan. Partikel-partikel ini akan mempunyai N! Kombinasi urutan. Bila dari N partikel n1 partikel menempati keadaan 1, n2 partikel pada keadaan 2 dan seterusnya sampai nr partikel menempati keadaan r. Maka ke N partikel ini sekarang mempunyai

Kombinasi. Jika setiap tingkat energi merupakan keadaan degenerasi lipat gi maka jumlah kombinasi yang ada untuk setiap keadaan

Karena itu, kombinasi total dari N partikel dengan partikel menempati keadaan 1 terdegenerasi lipat g1 dan seterusnya adalah perkalian (2.34) dan (2.35)

Logaritma dari jumlah total keadaan (6.69)

Menggunakan rumus Stirling untuk N besar sekali, maka

Dalam keadaan setimbang jumlah keadaan adalah maksimu. Mengingat degenerasi tidak berubah maka

Kendala jumlah partikel dan energi tetap setelah dikali dengan faktor pengali Lagrange memberi variasi

Karena dn1tidak sama dengan nol maka

Solusinya

Atau

Faktor gi adalah derajat degenerasi keadaan ke-i

STASTISTIK FERMI- DIRAC

Sistem terdiri dari partikel Fermi mengalami kontak difusif dengan tandon bertemperatur T.


Gmbr.1.1 Kontak difusi sistem fermionik dengan tandon

Tingkat energi Keadaan ini dapat kosong tidak ditempati partikel atau terisi satu partikel , Keadaan kosong berarti tidak ada partikel dengan energi nol sedangkan keadaan terisi satu partikel berarti berernergi .

Dengan batasan = 0 dan 1 untuk setiap r diperoleh

Dan

Disebut distribusi Fermi-Dirac

Resume:

Nilai dan fungsi partisi untuk berbagai distribusi

Maxwell-Boltzmann

Foton(Planck)

Bose-Einsten

Fermi-Dirac

Fungsi partisi

Statistik Bose Einstein

Dalam rangka merumuskan statistik BE, kita kembali memerlukan konsep ruang fase, yaitu ruang dengan 6 sumbu $(x,y,z,p_x,p_y,p_z)$. Di sini tidak digunakan kecepatan melainkan momentum yang pada intinya identik sebab $\vec p = m\vec v$. Dengan demikian elemen volume dapat dituliskan sebagai

\begin{displaymath} H = dxdydzdp_xdp_ydp_z \end{displaymath}

Dengan demikian, setiap molekul dapat direpresentasikan sebagai satu titik dalam ruang fase. Ingat, jika ruang fase dibuat dalam $6N$dimensi, maka setiap titik akan bersesuaian dengan keadaan sistem pada satu saat tertentu.

Oleh karena prinsip ketidak-pastian Heisenberg, indexHeisenberg suatu titik representasi sistem kuantum harus dikoreksi. Representasi dengan titik berarti kita dapat menentukan posisi dan momentum pada saat yang bersamaan dan itu hanya berlaku untuk sistem klasik. Sistem kuantum mengharuskan partikel direpresentasikan oleh $dot$(compartment) yang dimensinya pada orde h^3 , dimana $h$adalah tetapan Planck. .

Elemen volume $H$memuat sejumlah sedemikian dapat didefinisikan jumlah $dot$dalam elemen volume $H$adalah $n = H/h^3$.

Bobot Statistik

\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=GMB/bilik_be.eps,width=5.0cm} \end{center}\end{figure}Gambar 8.1: Keadaan Makro dan Mikro untuk statistik BE

Perumusan distribusi BE dari bobot statistik harus memperhitungkan kenyataan bahwa partikel tidak lagi dapat dibedakan (indistinguishable). Pertukaran partikel antar bilik, karena partikelnya tak-terbedakan tidak menyebabkan perbedaan keadaan mikro. Sebab itu, cara perhitungan bobot statistik untuk BE berbeda dengan MB.

Dalam diagram yang ditunjukkan oleh Gbr. 8.1 molekul digambarkan sebagai lingkarang kecil, bukan huruf. Pada bagian sebelah kiri mengingatkan kita pada statistik BM, dimana $N=4$dan $N_1 = 1$dan $N_2 =3$. Tetapi karena partikelnya tidak terbedakan, jumlah keadaan mikro yang bersesuaian dengan keadaan makro ini hanya satu. Pada bagian kanan diperlihatkan bahwa partikel $N_1 = 3$membagi diri ke dalam sub-bilik sehingga menghasilkan jumlah sub-bobot statistik $w_i = 2$dan untuk . Bobot statistik untuk $N=4, N_1 = 1, N_2 =3$, dengan jumlah sub-bilik pada $E_1$adalah $2$dan sub-bilik untuk $E_2$adalah $2$. Di sini terlihat bahwa bobot statistik untuk sistem yang terdiri atas $n$tingkatan energi adalah

\begin{displaymath} \Omega = \Pi_{i=1}^n \Omega_i \end{displaymath}

(8.2)

Penamaan statistik Bose-Einstein berhubungan dengan kenyataan bahwa partikel yang ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrisik (spin) bulat. Partikel tidak diatur oleh larangan Pauli sehingga dapat berada pada tingkat energi yang sama dengan yang lainnya. Seperi dalam gambar, masih dimungkinkan jumlah partikel berada pada sub bilik yang sama lebih dari dua.

Partikel yang mengikuti prinsip larangan Pauli disebut fermion dan hanya boleh berada pada bilik yang sama maximum dua, dan statistiknya disebut statitistik Fermi-Dirac. . Spin dari fermion adalah bilangan rational, yaitu dimana $n$adalah bilangan bulat.

Andaikan terdapat $N$partikel boson yang terbagi ke dalam $n$tingkatan energi. Pada masing-masing tinkatan energi $E_i$terdapan $N_i$partikel. Jika jumlah sub-bilik dalam masing-masing tingkatan energi adalah seragam, yaitu $m$maka bobot statistiknya adalah

\begin{displaymath} \Omega = \Pi_{i=1}^n \frac{(n + N_i - 1)!}{(n-1)! N_1!} \end{displaymath}

(8.3)

Sama dengan prosedur sebelumnya,

\begin{displaymath} \ln \Omega = \sum_{i=1}^n \ln (n + N_i - 1! - \ln(n-1)! - \ln N_1! \end{displaymath}

(8.4)

Dengan menggunakan rumus Stirling diperoleh

\begin{displaymath} \ln \Omega = \sum_{i=1}^n (n+N_i) \ln (n + N_i) - n\ln n - N_i \ln N_i \end{displaymath}

(8.5)

Untuk entropi maksimum, maka variasi , sehingga

\begin{displaymath} \delta \ln \Omega = \sum_{i=1}^n \left( \frac{ (n+N_i^o)}{N_i^o}\right)\delta N_i = 0 \end{displaymath}

(8.6)

Jika jumlah partikel dan energi total tetap, maka diperoleh keadaan berikut

\begin{displaymath} \delta N = \sum \delta N_i = 0, ~~~~~~ \delta U = \sum w_i \delta N_i = 0 \end{displaymath}

(8.7)

Dengan menggunakan pengali Lagrange $-\ln \alpha$dan $\beta$diperoleh

\begin{displaymath} \delta \ln \Omega = \sum_{i=1}^n \left( \frac{ (n+N_i^o)}{N_i^o}\right)\delta N_i = 0 \end{displaymath}

(8.8)

Akhirnya diperoleh distribus BE, yaitu

\begin{displaymath} \frac{N_i^o}{n} = \frac{1}{\alpha \exp (\beta w_i) - 1} \end{displaymath}

(8.9)

Statistik BE dan MB memiliki pola yang sama, bedanya, ruas kiri adalah jumlah titik representasi dalam kompartmen serta pada ruas kanan penyebutnya dikurangkan $1$. Seperti juga dalam statistik MB, pengali $\beta = 1/kT$, yang diperoleh dari hubungan $dU = TdS = k d \ln \Omega$

Diposting oleh di
Label:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)