ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU TETAP

Pada kehidupan sehari-hari banyak sekali kita temui fenomena gerak yang menunjukkan gerak, di antaranya adalah gerak rotasi benda. Benda dalam dunia nyata jauh lebih rumit; gaya-gaya yang bekerja dapat mengubah bentuk (mendeformasi) benda tersebut meregang, memuntir, atau meremukkan. Benda tegar dapat didefinisikan sebagai benda yang semua bagiannya memiliki hubungan tetap satu dengan yang lainnya. Sesungguhnya tidak ada benda yang benar-benar tegar, tetapi banyak benda, seperti misalnya molekul, batang logam, dan planet, cukup tegar, sehingga dalam banyak persoalan dapat diabaikan bahwa benda-benda tersebut dapat bengkok, melentur, ataupun bergetar (vibrasi).

Dalam makalah ini akan sedikit dibahas tentang rotasi benda terhadap sumbu putar yang tetap, dan momen inersia beberapa benda.

BAB II

PEMBAHASAN

1. Pusat Massa Benda Tegar

Telah diketahui pada bab sebelumnya bahwa pusat massa suatu sistem partikel sebagai titik (x_cm, y_cm, z_cm) dimana

x_cm = y_cm = z_cm =

Untuk sebuah benda tegar yang diperluas, kita dapat menambahkan suatu pengintegrasian volume benda, yakni :

x_cm = y_cm = z_cm = (8.1)

dimana ρ adalah densitas (kerapatan), dan dv adalah elemen volume.

Jika sebuah benda tegar berbentuk sebuah kulit tipis, persamaan pusat massa menjadi

x_cm = y_cm = z_cm = (8.2)

Jika benda berbentuk kawat tipis, maka

x_cm = y_cm = z_cm = (8.3)

dimana adalah massa per satuan panjang, dan dl adalah elemen panjang.

Untuk benda homogen, ρ konstan pada setiap kasus. Oleh karena itu persamaan di atas tidak berlaku.

Jika terdapat dua buah benda atau lebih dimana pusat massanya diketahui, maka dari definisi pusat massa dapat ditulis

x_cm = (8.4)

persamaan ini berlaku pula untuk y_cm dan z_cm. (x₁, y₁, z₁) merupakan pusat massa dari m₁.

2. Rotasi Benda Tegar pada Sumbu Tetap. Momen Inersia

Sumbu tetap diartikan sebagai suatu sumbu yang berada dalam keadaan diam di dalam suatu kerangka acuan inersia dan tidak berubah arah relatif terhadap kerangka tersebut. Ketika sebuah benda tegar berotasi pada sumbu tetap, setiap partikel di dalam benda bergerak dengan lintasan melingkar. Lingkaran terletak pada sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu dan berpusat pada sumbu. Pilih sumbu z pada sistem koordinat sebagai sumbu rotasi. Partikel m_i terletak pada (x_i, y_i, z_i) dengan jari-jari lingkaran (xi² + y_i²)^1/2 = R_i pada sumbu z, lihat gambar 1.

y vi

m_i

R_i φ_i y_i

ω x

O xi

Gambar 1. Bagian bidang yang berotasi pada sumbu z. (arah sumbu z ke luar halaman).

Kecepatan v_i pada partikel i yaitu

v_i = R_i ω = (x_i² + y_i²)^1/2 ω

dimana ω adalah kecepatan sudut dari rotasi. Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa kecepatan memiliki komponen sebagai berikut :

_i = - v_i sin φ_i = - ωy_i

_i = v_i cos φ_i = ωx_i (8.9)

z_i = 0

persamaan di atas dapat pula diperoleh dari komponen

v_i = ω x r_i (8.10)

dimana ω = k ω

Besarnya energy kinetik rotasi pada benda, yaitu :

T_rot = = (8.11)

dimana

I_z = = (x_i² + y_i²) (8.12)

I_z disebut momen inersia pada sumbu z

Untuk memembuktikan lebih lanjut momen inersia yang terdapat pada gambar, maka perlu dihitung momentum sudut pada sumbu rotasi. Momentum sudut pada sebuah partikel, r_i m_iv_i, komponen z adalah

m_i(x_ii - y_ii) = mi (x_i² + y_i²) ω = miRi² ω (8.13)

Komponen z total pada momentum anguler, yaitu L_z, merupakan jumlah dari semua partikel, yakni :

L_z = = (8.14)

Pada bagian 7.2 ditemukan bahwa perubahan momentum sudut terhadap waktu pada sebuah sistem sama dengan total momen gaya luar.

= N

Apabila sebuah benda yang dipaksa berotasi pada sebuah sumbu tetap, pada sumbu z, maka

N_z = = (8.15)

Dimana N_z adalah momen total pada semua gaya yang terdapat pada sumbu rotasi ( komponen N sepanjang sumbu z. Jika benda tersebut adalah benda tegar, I_z konstan, dapat ditulis

N_z =I_z (8.16)

Analogi antara persamaan translasi dan rotasi pada sumbu tetap ditunjukkan pada persamaan berikut

Translasi sekitar sumbu x Rotasi pada sumbu z

Momenyum linear p_x = mv_x Momentum sudut L_z = I_z ω

Gaya F_x = m Torsi N_z = I_z

Energi kinetik T = mv² Energi kinetik T_rot = I_z ω²

Jadi momen inersia analog dengan massa, dan v analog dengan ω.

3. Perhitungan Momen Inersia

Ketika sebuah benda tegar tidak dapat dinyatakan dengan beberapa titik massa, tetapi berupa distribusi massa yang homogen, penjumlahan massa dan jarak yang mendefinisikan momen inersia (persamaan (8.12)) menjadi sebuah integral. Bayangkan apabila benda dibagi menjadi elemen-elemen kecil dm sehingga semua titik dalam elemen benar-benar memiliki jarak tegak lurus yang sama dari sumbu rotasi, yang disebut R. Maka momen inersia adalah

I = (8.17)

Untuk menghitung integral, R dan dm harus dinyatakan dalam bentuk variabel integral yang sama, sedangkan dm adalah elemen massa.

Batang Tipis

Momen inersia batang tipis yang homogen dengan panjang a dan massa m, dengan sumbu tegak lurus terhadap ujung batang, yaitu

I_z = (8.18)

dimana m=

Jika sumbu terletak pada pusat batang, maka

I_z = (8.19)

Silinder Berlubang yang Berdinding Tipis

Momen inersia silinder berlubang yang berdinding tipis dengan pusat atau sumbu simetri semua partikel terletak pada jarak yang sama dari sumbunya, yaitu

I_axis = ma² (8.20)

dimana a adalah jari-jari, dan m adalah massa

Silinder Pejal

Untuk menghitung Momen inersia suatu silinder pejal dengan jari-jari a dan massa m, digunakan koordinat polar. Elemen massa adalah cincin tipis dengan jari-jari r dan ketebalan dr, yaitu

dm = ρ2r dr

dimana ρ adalah densitas. Momen inersianya adalah

I_axis = = (8.21)

langkah akhir diperoleh dari hubungan m = ρa²

BAB III

PENUTUP

Sebuah benda tegar mungkin dianggap sebagai suatu sistem partikel yang memiliki posisi relatif satu dengan yang lainnya, dengan kata lain jarak antara dua partikel adalah konstan, definisi ini merupakan definisi yang diidealkan.

Sebuah partikel dalam benda tegar yang berotasi dengan kecepatan sudut ω memiliki laju v diberikan oleh

v = ω r

Momen inersia I dari sebuah benda pada sumbu yang diberikan, didefinisikan sebagai

I_z =m₁R₁² + m₂r₂² +… =

dimana R_i merupakan jarak tegak lurus massa m_i dari sumbu putar. Semakin besar momen inersia, semakin sulit mengubah perputaran dari benda.

DAFTAR PUSTAKA

Fowles, Grant R. 1986. Analytical mechanics. USA : CBS college publishing

Young & Freedman. 2001. Fisika Universitas. Jakarta : Erlangga

Halliday & Resnick. 1985. Fisika. Jakarta : Erlangga